最近因為工作的關係，可能會使用到微積分，所以打算從頭開始學起這個大部分的人已經非常熟悉，但我本身卻沒怎麼學過的科目。
這裡主要是想搜集平時會用到的數學工具，也就是課本上遇到的命題，以及相對應的證明。把課本上，或查資料時查到的東西慢慢整理在這裡。希望盡量能靠我破爛的英文能力翻譯成中文，但假如真的翻不太起來，我就會自暴自棄的直接用英文。
希望有人發現錯誤的話，可以在留言提醒一下 ⁽⁽٩(๑˃̶͈̀ ᗨ ˂̶͈́)۶⁾⁾
定義、定理、性質：
(1) 定義：
假設 f(x)在 x 附近有被定義。『意思是 f 在某個包含 a 的開區間有定義，而 a 本身不一定有定義』。如果我們可以藉由讓 x 任意地逼近 a 但並不等於 a，使得 f(x)的值任意地逼近 L。
“the limit of f(x), as x approaches a, equals L”
(2) 定義：
f(x) 於 a 點的左極限等於 L ，表示如果我們可以讓 x 足夠逼近 a 且小於 a，使得 f(x) 任意地逼近 L 。
the left-hand limit of f(x) as x approaches a is equal to L if we can make the values of f(x) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a.
(3) 定義：
f(x) 於 a 點的極限存在且等於 L，若且唯若，在 f(x) 於 a 點的左極限等於 L ， 且 f(x) 於 a 點的右極限等於 L 。
(4) 定義：
讓 f(x) 在 a 的兩側皆有定義，而 a 本身則不需要有定義（可有可無）。則：
表示 f(x) 當 x 足夠接近 a 但是不等於 a 時， f(x) 的值會是無限大。
(5)定義：
讓 f(x) 在 a 的兩側皆有定義，而 a 本身則不需要有定義（可有可無）。則：
表示 f(x) 當 x 足夠接近 a 但是不等於 a 時，f(x) 的值會是無限小。
(6)定義：
當有以下任一情況發生時，我們稱 x = a 為 y = f(x) 的垂直漸近線。
(7) Limit Laws：
我們假設 c 是常數，且以下的極限都存在。
則我們可以得到：
(8)Direct Substitution Property：
假如 f 是一個 多項式( polynomial )，或是一個有理函數( rational function )，且 a 存在於 f 的定義域，則：
這樣的性質，也被稱為 f 於 a 連續( continuous )。
(9)性質：
假如 f(x) 與 g(x) 在 x = a 以外的值都相等，而在 x = a 則可相等可不相等。使得 f(x) 與 g(x) 於點 a 的極限值相等，這證明了此處極限存在。
(10)定理：
當 f 於 a 的極限值存在且等於 L 時，若且唯若（為充要條件）， f 於 a 的左極限以及右極限皆存在且等於 L。
(11)定理：
當函數 f 於 x=a 附近皆小於等於函數 g ，且 f 與 g 於 a 的極限值皆存在。則 f 於 a 的極限值小於等於 g 於 a 的極限值。
(12)夾擠定理(The Squeeze Theorem)：
找一個函數當作上界，另一個函數當作下界，藉此夾擠出中間函數在某一個點的極限值。
(13)定義：
於 calculus 課本中，對於極限的精確定義：
我們讓 f 是一個定義於某個開區間的函數，且這個區間包含 a 附近的值，而 a 本身則可包含可不包含。則我們可以稱 f(x) 於 x 接近 a 時的極限值為 L。
(14) Definition of Left-Hand Limit：
於 calculus 課本中，對於左極限的精確定義：
(15) Definition of Right-Hand Limit：
於 calculus 課本中，對於右極限的精確定義：
(16) Definition of Infinite Limits：
於 calculus 課本中，對於趨向無窮的極限的精確定義：
(17) Definition：
於 calculus 課本中，對於趨向負無窮的極限的精確定義：
(18) Definition ：
假如符合：
則函數 f 於 a 點連續。
(19) Definition ：
假如：
則我們稱函數 f 為右連續。( A function f is continuous from the right at a number a)
假如：
則我們稱函數 f 為左連續。( A function f is continuous from the left at a number a)
(20) Definition ：
一個函數 f 在一個區間上連續，表示 f 在此區間任何一點上皆為連續。
A function f is continuous on an interval if it is continuous at every number in the interval.(If f is defined only on one side of an endpoint of the interval, we understand continuous at the endpoint to mean continuous from the right or continuous from the left)
(21) Theorem ：
假若 函數 f 與 g 於 a 點皆為連續，且 c 為某常數，則以下函數皆於 a 點連續：
(22) Theorem ：
任意多項式( polynomial )在任意點都為連續，表示其於
皆為連續。
任意有理函數( rational function )只要其值有定義（分母不為零），則有理函數於其定義域為連續。
(23) Theorem ：
以下函數於其定義域皆為連續：
- polynomials （多項式）
- rational functions （有理函數）
- root functions （根函數）
- trigonometric functions （三角函數）
(24) Theorem ：
(25) Theorem ：-
(26) The Intermediate Value Theorem（中間值定理）：
命題與證明：
(1) 命題：
(1)證明：
(2)命題：
(2)證明：
TODO
將“定義補完”
收集與極限與連續相關的命題與相對應的證明
